مساله ای جالب درباره ویژگی های اعداد طبیعی

مسأله - عدد طبیعیb   را که از وارون کردن ارقام عددطبیعی a  بدست می آید مقلوب a  می نامیم.مثلا مقلوب 1375 عدد5731 است.مطلوب است تعداد اعداد بین 1 تا 99999 که مقلوبشان با خودشان برابر است؟

1لف- 1098  ب-1220   پ-976     ت-1542     ث-1008

 

حل - تمام عددهای یک رقمی از 1 تا 9 با مقلوبشان برابرند.که تعدادشان 9 تاست.

تمام عددهای دو رقمی به شکل  aa خودشان با مقلوبشان برابر است که تعداد این ها هم 9تاست.

تمام عددهای سه رقمی بصورت  aba  خودشان با مقلوبشان برابر اند زیرا اگر   abc=cba

  آنگاه

100a+10b+c=100c+10b+a

99a=99c 

  ودر نتیجه a=c  تعداد این عددها طبق اصل ضرب برابر 90 تاست.

تمام عددهای چهار رقمی بصورت abba    خودشان با مقلوبشان برابر اند  وتعداد این عددها طبق اصل ضرب 9در 10در 1در 1 یعنی 90 تاست.

همچنین تمام اعداد 5 رقمی به شکل  abcba   خودشان و مقلوبشان با هم برابرند که تعداد این اعداد نیز 9 در 10در10در 1در 1 برابر 900 تاست.پس تعداد کل اعدا د با خاصیت مورد نظر برابر است با

9+9+90+90+900=1098

 

منبع- المپیاد های ریاضی ایران-دوره پانزدهم

  
نویسنده : عنایت اله راستی زاده ; ساعت ۱۱:٢٤ ‎ب.ظ روز ٢ تیر ۱۳۸٧
تگ ها : درسی